Tiêu đề: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
Bỏ qua lý thuyết nhé, chỗ chúng ta cần quan tâm nhất là cách giải dạng này, bắt đầu ôn lại nhé các bạn:
1.Cách tính tích phân kép (hai lớp; bội hai) trong tọa độ vuông góc:
1.1. Miền đều:
a. Miền đều theo phương Oy:
Giả sử mỗi đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm M, N (theo hướng từ dưới lên). M có tọa độ và N có tọa độ .
Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Oy và M được gọi là điểm vào miền D, N được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong được gọi là đường vào, và đường cong được gọi là đường ra của miền D.
b. Miền đều theo phương Ox:
Giả sử mỗi đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm trong của miền D (điểm không nằm trên biên), chỉ cắt biên L của miền D tại 2 điểm P, Q (theo hướng từ trái sang). P có tọa độ và Q có tọa độ .
Khi đó, ta nói D là miền đều theo phương Ox và P được gọi là điểm vào miền D, Q được gọi là điểm ra khỏi miền D. Đường cong được gọi là đường vào, và đường cong được gọi là đường ra của miền D.
c. Miền đều: Miền đều theo phương Ox và Oy được gọi là miền đều
d. Các ví dụ:
1. Hãy xét xem các miền sau đây là miền đều theo phương nào?
Ta có:
Hình a : D là miền đều theo phương Oy (dù đưởng thẳng x = a và x = b cắt miền D tại vô số điểm, nhưng là những điểm biên chứ không phải điểm trong) và có cùng 1đường vào, 1 đường ra nhưng không là miền đều theo phương Ox vì có 1 vùng mà những đưởng thẳng song song với trục Ox, đi qua điểm trong và cắt biên tại 4 điểm.
Hình b: D là miền đều theo phương Oy có đường vào và đường ra . Ngoài ra, D cũng là miền đều theo phương Ox nhưng có 2 đường vào và 1 đường ra x = b.
Hình c: D là miền đều theo phương Oy, có cùng 1 đường vào, và 1đường ra. Bên cạnh đó, D là miền đều theo phương Ox nhưng có tới 2 đường vào và 2 đường ra.
2. Các miền D được xác định dưới đây là miền đều theo phương Ox. Bạn hãy xét xem nó có phải là miền đều theo phương Oy không? Và nếu là miền đều, hãy xét xem nó có mấy đường vào và mấy đường ra?
1.2. Cách tính (Định lý Fubini)
1. Nếu D xácđịnh bởi , g liên tục trên thì:
2.Nếu D xácđịnh bởi , h liên tục trên thì:
Nhận xét:
1. Ở trường hợp 1, ta có D là miền đều theo phương Oy trong khoảng và có cùng 1 đường vào và cùng 1 đường ra . Khi đó, ta tính tích phân theo biến y trước (coi x là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến x trong đoạn [a; b].
2.Miền đều theo phương Oy thì đường vào, đường ra là hàm theo biến x.
3. Ở trường hợp 2, ta có D là miền đều theo phương Ox trong khoảng và có cùng 1 đường vào và cùng 1 đường ra . Khi đó, ta tính tích phân theo biến x trước (coi y là hằng số) với cận dưới là đường vào và cận trên chính là đường ra. Sau khi có kết quả, ta tính tiếp tích phân theo biến y trong đoạn [c; d].
4.Miền đều theo phương Ox thì đường vào, đường ra là hàm theo biến y. 1.3. Phương pháp tính: 1. Vẽ miền lấy tích phân D
2. Xét xem miền D có phải là miền đều theo phương Ox (hoặc Oy) không? Nếu miền lấy tích phân không đều thì ta chia miền D thành những miền đều không có phần trong chung.
3. Chọn đường vào và đường ra (thích hợp) cho miền D. Nếu mền D không có cùng 1đường vào và 1 đường ra thì ta chia miền D thành những miền nhỏ sao cho trên mỗi miền nhỏ, chúng có cùng 1đường vào và 1 đường ra.
4. Áp dụng công thức Fubini và các tính chất tích phân để tính tích phân hai lớp theo phương Oy (hoặc Ox).
[b]1.4. Một số ví dụ:[/b]
1. Xác định cận lấy tích phân theo 2 phương Ox và Oy của: , trong đó D là miền cung tròn nằm trong đoạn từ đến 1 của nửa dưới đường tròn (O; 2) được xác định như hình dưới đây:
Giải:
Ta có miền D giới hạn bởi các đường: , , và
Theo phương Oy ta có: D là miền đều trong khoảng và có cùng đường vào và cùng đường ra
Do đó ta có:
Ngược lại, nếu đổi thứ tự lấy tích phân thì theo phương Ox ta có: D là miền đếu theo phương Ox trongđoạn [-2 ; 0]. Tuy nhiên, đường biên trái của D gồm 2 đoạn AB và BC(-2) có phương trình khác nhau (không cùng đường vào) và đường bên phải của D cũng gồm 2 đoạn (-2)D và DEF có phương trình khác nhau (kông cùng đường ra). Vả lại, hai điểm B, D không có cùng tung độ nên ta phải chia miền D thành 3 miền ABEF, BCDE và C(-2)D bởi các đường thẳng song song với trục Ox: (BE): , (CD):
Trong miền ABEF nằm giữa 2 đường thẳng y = -1 và y = 0, đường vào có phương trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền BCDE nằm giữa 2 đường thẳng và y = -1, đường vào có phương trình và đường ra có phương trình: x = 1.
Trong miền C(-2)D nằm trong đoạn từ y = -2 đến , đường vào có phương trình và đường ra có phương trìnhh:
Vậy: (Click vào để thấy rõ hơn nhé)
Ví dụ 2. Tính , D là miền giới hạn bởi các đường: và Giải
Tọa độ giao điểm của 2 đướng và là A(2;-2) và C(8;4) và miền D được xác định như hình bên. Nhận thấy, theo phương Ox thì miền D có cùng 1 đường vào là và cùng 1 đưởng ra là x = y+4.
Do đó: Vậy
= =
Còn theo phương Oy thì miền D lại có 2 đường vào là y = x – 4 và và có chung 1 đường ra là .
Do đó, ta chia miền D thành 2 miền D1, D2 bởi đoạn AB để trên mỗi miền có chung 1 đường vào và 1 đường ra.
Do đó, theo phương Oy ta có:
Vậy ta có:
Tính toán tương tự như trên, ta có kết quả.
Nhận xét:
1. Từ tích phân trên miền D1, ta nhận thấy cận của tích phân theo biến y có tính đối xứng, hay dựa vào ồ thị ta có miền D là miền đối xứng qua Ox. Do đó, nếu hàm f(x;y) là hàm lẻ theo y thì tích phân bằng 0; còn nếu f(x;y) là hàm chẵn theo y thì tích phân sẽ bằng 2 lần tích phân trên miền D1′ (D1′ là miền D1 ứng ới y >0).
Từ đó, nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = f(x;-y) thì:
(với D1 là phần của D ứng với y > 0) Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(x;-y) thì:
2. Tương tự, nếu miền D đối xứng qua Oy và f(x;y) = f(-x;y) thì:
(với D’ là phần của D ứng với x > 0) Nếu miền D đối xứng qua Ox và f(x;y) = -f(-x;y) thì:
3. Nếu miền D là miền đối xứng qua Ox và Oy và f(x;y) = f(-x;y) = f(x;-y) = f(-x;-y) thì:
(với D* là phần của D nằm trong góc phần tư thứ nhất)
4. Giả sử vàthì:
(nghĩa là tích phân kép sẽ thành tích của 2 tích phân đơn)
5. Kết quả quan trọng: =
Sat Mar 27, 2010 8:25 pm
Thành Viên Danh Dự
hecator
Giới tính :
Join : 07/11/2009
Bài gửi : 513
Thú cưng .:
Tiêu đề: Re: [Ôn Tập] Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
Cam ơn bạn đã đóng góp cho forum , cả code share C++ nữa .Hi vọng tiếp tục cố gắng phát huy